Георгий Шевченко навсегда останется в памяти как один из ключевых игроков легендарной команды «Алга» в её расцвете. Он начал свои выступления за «Алгу» в 1965 году, после того как был приглашён из «Днепра» тренером Николай Самариным, и продолжал играть до 1971 года, когда клуб находился на пике своей популярности.
В роли защитника Георгий выделялся своим стратегическим мышлением, способностью предугадывать развитие атак противника за несколько шагов вперёд, а также жёсткими и точными действиями при отборе мяча. Его партнёры по команде прозвали его «Рихардом Зорге» за хладнокровие и мудрость, которые он проявлял на поле. Часто его уверенные действия становились залогом успеха команды.
Уже в своем первом матче за «Алгу» Георгий завоевал симпатию болельщиков и уважение своих товарищей. В этой игре команда одержала победу над «Пахтакором» с результатом 4:1, и Шевченко также отметился забитым голом.
Сезон 1967 года стал особенным для клуба. «Алга» показывала зрелищный и атакующий футбол, и ей не хватило всего нескольких очков для выхода в высшую лигу. В результате этого сезона Георгию и его товарищам было присвоено звание мастеров спорта СССР.
В 1971 году Георгий Алексеевич завершил свою карьеру в большом футболе, но не покинул спорт. Он занялся тренерской деятельностью, работая с юными футболистами 1958 года рождения и проявив себя как талантливый педагог. Успехи его воспитанников не заставили себя ждать: через два года его команда заняла третье место на первенстве СССР среди старших юношей в Киеве, обойдя таких известных соперников, как ЦСКА, «Динамо» (Киев), «Карпаты» и «Заря».
Даже после завершения профессиональной карьеры Георгий Алексеевич продолжал активно участвовать в футболе. До 70-летнего возраста он играл за сборную ветеранов Кыргызстана, представляя страну в матчах в Алматы и Москве, каждый раз выходя на поле с присущей ему уверенностью и благородством.
